Про розподіл змін цін акцій

Як читати цей розбір. Робота коротка, але щільна. Головну думку можна забрати з розділу «Метод в один рядок» і прикладу в розділі 1, не читаючи формул. Розділи 5–8 це обговорення Мандельброта, де він сам обмежує конструкцію Тейлора; саме вони найчастіше губляться під час переказу. PDF роботи це скан без текстового шару, тому дослівних цитат тут небагато, і всі вони взяті лише там, де текст на скані читається надійно.

1. Про що суперечка

Мандельброт починає з того, що шкіл думки про розподіл змін цін щонайменше чотири. Найчисленніша, технічні аналітики, говорить про тренди, рівні підтримки й відскоки. Дві інші відкидають технічний погляд і згодні, що ціни це випадкове блукання, але розходяться в тому, який розподіл у кроків і яким часом їх міряти: фізичним (дні, години) чи операційним, який іде разом із потоком угод. Одні знаходять зміни цін нормальними, інші бачать стійкий паретівський розподіл з нескінченною дисперсією. Четверта група приймає випадкове блукання як перше наближення і відзначає ефекти другого порядку.

Робота відповідає на суперечку двох шкіл випадкового блукання. Відповідь в анотації: "Price changes over a fixed number of transactions may have a Gaussian distribution." Зміни за фіксований строк при цьому можуть підкорятися стійкому паретівському розподілу, і оскільки число угод за будь-який строк випадкове, твердження не обов'язково суперечать одне одному. У тексті це сформульовано так: "Basically, our point is this: the Gaussian random walk as applied to transactions is compatible with a symmetric stable Paretian random walk as applied to fixed time intervals."

Ідея на пальцях. Нехай ціна змінюється лише в момент угоди, і кожна угода зсуває її на невелику випадкову величину, незалежно від минулого. За угодами це звичайне гауссове блукання. За годинником картина інша: за одну годину минуло 10 угод, за іншу 10 000. Зміна ціни за годину це сума випадкового числа випадкових кроків. Якщо число кроків саме має дуже важкий хвіст, годинні зміни його успадковують.

Приклад на числах (наш приклад). Кожна угода рухає ціну на $\pm 1$ цент з однаковою ймовірністю. Година зі 100 угодами дає типовий рух $\sqrt{100} = 10$ центів, година з 10 000 угод дає 100 центів. За сталого числа угод годинні зміни були б нормальними. Випадкове число угод із важким хвостом робить їхній розподіл важкохвостим.

Робота складається з двох частин різних авторів. Математичне спостереження належить Тейлору (примітка до розділу «A relation between the Gaussian and other stable laws»), обговорення і зв'язок зі спеціалістами належать Мандельброту.

2. Метод в один рядок

Ціна за годинником це гауссова ціна за угодами, у яку підставлено випадкове число угод до цієї години.

Що це таке. Три процеси, вкладені один в один.

Що означає кожен значок.

• $X(v)$: ціна як функція не календарного часу, а накопиченого числа (або обсягу) угод $v$. Гауссів процес із незалежними приростами, середнім нуль і $E[X(u)X(v)] = \sigma^2\min\{u, v\}$, тобто звичайне броунівське блукання.
• $T(t)$: скільки угод або який обсяг накопичився до календарного моменту $t$. Теж випадковий процес, але лише зростаючий.
• $Z(t)$: те, що ми бачимо, ціна як функція календарного часу.

Як читати. Взяти календарний момент $t$, подивитися, скільки до нього накопичилося угод, і підставити це число в гауссів процес.

Терміни. $Z$ називають субординованим (subordinated) процесу $X$, а $T$ напрямним процесом (directing process). Сам прийом Мандельброт приписує Бохнеру, який увів поняття субординації.

Навіщо це потрібно. Це розділення «як ціна реагує на угоду» і «як швидко йдуть угоди». Важкі хвости в такій моделі живуть у другому.

3. Стійкі закони і показник α

Розділ «Review of stable laws» нагадує, що таке стійкий розподіл. Процес із незалежними стаціонарними приростами підкоряється стійкому закону тоді й лише тоді, коли його характеристична функція має певний вигляд із чотирма параметрами: $\alpha$ (характеристичний показник, від 0 до 2), $\beta$ (асиметрія, від −1 до 1), $\gamma > 0$ (масштаб) і $\delta$ (зсув).

Що таке характеристичний показник α. Число від 0 до 2, яке задає товщину хвостів. Із посиланням на Гнєденка і Колмогорова автори перелічують:

• $\alpha = 2$: нормальний розподіл, $Z(t)$ це броунівський рух;
• $\alpha = 1$ і $\beta = 0$: розподіл Коші;
• $1 < \alpha < 2$: середнє скінченне, дисперсія нескінченна; це і є «стійкий паретівський розподіл» із суперечки.

Ще два факти з того самого розділу: стійкий розподіл додатний тоді й лише тоді, коли $\alpha < 1$, $\beta = 1$ і $\delta \ge 0$, і симетричний за $\beta = 0$.

Що означає «дисперсії немає». Не «дисперсія велика», а вибіркова дисперсія зі зростанням вибірки ні до чого не збігається і продовжує зростати. Для практика це означає, що оцінка волатильності за такими даними нестійка, і все, що на ній побудовано, теж (наше пояснення, у роботі цього висновку немає).

Характеристична функція гауссового процесу $X$:

Що це таке. Характеристична функція, тобто середнє від $e^{i\xi X}$. Вона однозначно задає розподіл, і з нею зручно працювати, бо для суми незалежних величин функції перемножуються.

Що означає кожен значок. $\xi$ («ксі»): аргумент функції. $\sigma^2$: дисперсія кроку за одиницю операційного часу. $t$: скільки операційного часу минуло.

Рахунок за кроками. Квадрат аргументу помножити на дисперсію і на час, взяти половину зі знаком мінус, піднести $e$ до цього степеня.

Навіщо це потрібно. Нормальний розподіл упізнається за квадратом аргументу в показнику. Стійкий із показником $\alpha$ упізнається за $\lvert\xi\rvert^{\alpha}$.

4. Виведення Тейлора

Напрямний процес $T(t)$ Тейлор бере додатним стійким процесом із показником $0 < \alpha < 1$, $\beta = 1$ і $\delta = 0$ (рівняння 3 роботи). Далі характеристичну функцію $Z$ рахують у два кроки: спершу за відомого $T(t)$, потім усереднюють за $T(t)$.

Що це таке. За відомого числа угод $T$ ціна гауссова з дисперсією $\sigma^2 T$. Лишається усереднити гауссову характеристичну функцію за випадковим $T$.

Рахунок за кроками. Підставити $\frac12\xi^2\sigma^2$ як аргумент у характеристичну функцію $T$. Степінь $\alpha$ від $\xi^2$ дає $\lvert\xi\rvert^{2\alpha}$.

Приклад (наш). Якщо $\alpha = 0.85$, показник ціни за годинником дорівнює $2 \times 0.85 = 1.7$: це стійкий паретівський розподіл із середнім, але без дисперсії. Якщо $\alpha = 0.5$, показник дорівнює 1, це розподіл Коші, у якого немає навіть середнього.

Навіщо це потрібно. Це і є доведення примирення. Гауссове блукання за угодами плюс стрибкоподібне число угод дають симетричний стійкий закон із показником $2\alpha < 2$ за годинником.

Підсумок Тейлора: $Z(t)$ це симетричний стійкий процес із показником $2\alpha < 2$, у якого параметри асиметрії і зсуву дорівнюють нулю. Примітка чесно застерігає, що крок формальний: у формулу характеристичної функції, виведену для дійсного аргументу, підставлено комплексний. Автори пишуть, що цей крок легко обґрунтувати, і відсилають до Феллера.

Інтерпретація з того самого розділу: $X(v)$ це ціна в шкалі обсягу угод, $T(t)$ накопичений обсяг або число угод до фізичного моменту $t$, а $Z(t)$ ціна у фізичному часі.

5. Обговорення Мандельброта: нескінченні моменти нікуди не поділися

Друга половина роботи це обговорення Мандельброта. Він нагадує свою роботу 1963 року: зміни цін за фіксовані строки приблизно незалежні й приблизно стійкі паретівські, тобто з нескінченною дисперсією. Зауваження Тейлора він приймає, але одразу уточнює, чим воно не є.

Напрямний процес у Тейлора сам негауссів і стійкий, з нескінченним середнім, а отже і з нескінченною дисперсією. Тому, пише Мандельброт, зауваження Тейлора "does not belong to the category of attempts to avoid stable Paretian distributions": це не спроба врятувати скінченну дисперсію, а інший спосіб увести гіпотезу нескінченних моментів у вивчення цін. Важкі хвости в моделі лишаються, тільки сидять вони в процесі числа угод.

Чому це важливо. Перекази роботи часто зводять її до формули «важкі хвости це артефакт годинника, перейдіть на час за угодами, і вони зникнуть». Мандельброт у тій самій статті каже інше: хвости не артефакт, їх перенесено в потік угод, і нескінченне середнє в цього потоку не менш незручне, ніж нескінченна дисперсія в ціни.

Примітка до того самого розділу згадує двох інших авторів. Ґрейнджер помітив, що $X(T)$ може бути гауссовим за дуже важкохвостого $Z(t)$, але не зазначив, що для цього $T(t)$ має бути приблизно субординатором. Брада і співавтори докладно показали, що зміни цін між угодами короткохвості й приблизно гауссові, і Мандельброт додає, що цю властивість забезпечують інструкції SEC для спеціалістів (розділ 7).

6. Реальні і «віртуальні» угоди

Субординатор майже напевно розривний і зростає додатними стрибками. Розмір стрибка $U$ має степеневий (паретівський) умовний хвіст. Мандельброт читає це так: якщо $U > 1$, угоди йдуть пачками. Останню угоду в пачці він називає «фінальною», решту «віртуальними».

Звідси незручний наслідок. Якщо обсяги на «віртуальних» угодах нехтовно малі, зміна ціни між двома фінальними угодами це сума $U$ незалежних гауссових величин з одиничною дисперсією. Дисперсія такої суми дорівнює середньому $U$, а воно нескінченне. Розподіл змін між фінальними угодами збігається з розподілом стрибків вихідного процесу з нескінченною дисперсією. Висновок Мандельброта: представлення Бохнера "brings nothing new, unless nonnegligible amounts are traded on the so-called" «віртуальних» угодах.

Як це розуміти. У спостережуваних угодах модель Тейлора гауссової ціни не обіцяє. Якщо пачку угод видно як одну угоду, то й важкий хвіст видно у змінах між спостережуваними угодами. Гауссовість за угодами з'являється лише тоді, коли всередині пачки реально щось торгується.

Ще одне застереження з примітки: строго кажучи, $T(t)$ ціле число і тому не може бути субординатором точно. У першому наближенні стрибки $T$ вважають квантованими, але не згладженими, а $X(T)$ процесом у дискретному часі з нульовим середнім і одиничною дисперсією кроку. Виведення Тейлора, за словами Мандельброта, від такого квантування практично не змінюється.

7. Роль спеціаліста

У роботі 1963 року Мандельброт писав, що розриви процесу ціни в даних за угодами майже не видно. Вони або ховаються там, де ринок закритий чи торги перервано, або згладжуються спеціалістами, які за інструкцією SEC "ensure the continuity of the market", самі беручи участь в угодах.

Тут він уточнює, як спеціаліст змінює дані. По-перше, він згладжує дрібні безцільні дрейфи, і зміна ціни між угодами дорівнює нулю частіше, ніж було б без нього. По-друге, він замінює більшість великих змін серіями дрібних і середніх, амплітуди яких настільки взаємозалежні, що майже всі одного знака. На деяких ринках це додатково забезпечують законні денні ліміти на зміну ціни.

Примітка розбирає механізм на прикладі. Після угоди за ціною $Z_i$ надходить важлива новина, і пропозиція нижче рівня $Z^0$ зникає. Спеціаліст продає зі своїх запасів і бере участь у наступних угодах, і ця пауза на роздуми, як пише Мандельброт, прибирає з розподілу $Z_{i+1} - Z_i$ майже всі великі значення. Лишаються тільки великі зміни через останню угоду сесії або через перерву в торгах, і їхній внесок тоне у величезному числі угод усередині сесії.

Мандельброт пропонує й гіпотезу: спокусливо ототожнити «віртуальні» угоди Бохнера з угодами спеціалістів, хоча спеціалісти, імовірно, бачать, куди йде ціна, і проходять потрібний шлях менш ніж за $U$ незалежних гауссових кроків. Підсумок розділу: "the Bochner representation is concretely plausible and a program for empirical study of specialists."

Що з цього видно сьогодні (наше прочитання). Механізм посередника, який розмазує стрибок у часі, дає серії односпрямованих дрібних рухів. Частина спостережуваної автокореляції на коротких інтервалах може бути породжена влаштуванням ринку, а не поведінкою учасників. У роботі це сказано про спеціалістів NYSE 1960-х; переносити на сучасні ринки треба з перевіркою.

8. Чому дані за угодами мало допомагають на практиці

Останній розділ роботи прямо обмежує її практичну користь. Мандельброт погоджується, що короткий хвіст (і навіть гауссовість) змін між послідовними котируваннями цілком сумісний із паретівською поведінкою змін за фіксований строк. Але, пише він, важко зрозуміти, чим цей розподіл корисний окремому інвесторові. В інвестора немає годинника за угодами. Він не знає, чи буде його угода наступною на ринку, чи п'ятдесятою. Його ордер, поданий за ціни $Z_i$, виконається за ціною $Z^0$, і $Z^0 - Z_i$ це складна суміш величин виду $Z_{i+j} - Z_i$ за всіма $j$. А "Mixtures of Gaussian distributions are known to have fatter tails than the Gaussian, and these tails can be very fat indeed."

Економістам дані за угодами теж незручні: якщо ціна одна зі змінних моделі часових рядів, немає сенсу міряти її на інтервалах між угодами, коли решту змінних міряють на фіксованих інтервалах.

Мандельброт застерігає й протилежне: опис ціни у звичайному, рівномірно плинному часі задачу теж не розв'язує, бо момент виконання своєї угоди заздалегідь не відомий, і суміш з'являється знову. У моделі Башельє, де зміни за фіксований строк гауссові, виникають ті самі труднощі із сумішшю. У стійкого паретівського розподілу є корисна властивість: асимптотика розподілу одна й та сама для суміші строків і для кожного строку окремо. "Thus, mixing has no effect upon considerations related to that asymptotic behavior."

9. Що в роботі хитке

Застереження самих авторів

Немає експериментальної перевірки. Мандельброт називає альтернативу Тейлора "illuminating though restricted to the symmetric case and as yet devoid of direct experimental backing".

Лише симетричний випадок. Конструкція дає симетричний стійкий закон; асиметрії змін цін вона не пояснює.

Формальний крок виведення. Підстановку комплексного аргументу у формулу для дійсного обґрунтовано посиланням на Феллера, але в тексті не проведено.

Цілочисельність числа угод. $T(t)$ не може бути субординатором точно, конструкція правильна в першому наближенні.

«Віртуальні» угоди. Якщо на них не торгується помітний обсяг, конструкція нічого нового не дає.

Практична користь обмежена, розділ 8: в інвестора немає годинника за угодами, і суміш повертає товсті хвости.

Що помітно під час читання

Числа і формули не перераховувалися, розбіжностей із текстом ми не шукали.

Форму процесу числа угод постульовано. Показник $\alpha$ від 0 до 1 у напрямного процесу це припущення, яке в роботі нічим не підкріплене і не виміряне.

Ринок 1967 року. Спеціалісти, денні ліміти, відсутність електронної торгівлі. Механізм згладжування сьогодні влаштований інакше, і переносити висновки розділу 7 без перевірки не можна.

Скан без текстового шару. Дослівні цитати в цьому розборі взято лише там, де текст на скані читається надійно; формули розібрано за відрендереними сторінками.

10. Що з цього випливає на практиці

Бари за угодами чи обсягом це перевірювана гіпотеза, а не смак. Якщо важкі хвости годинних дохідностей породжені нерівномірністю потоку угод, нарізка за числом угод має їх помітно зменшити. Це дешева перевірка на власних даних.

Укорочений хвіст на барах за угодами не означає, що ризик зник. Мандельброт прямо каже, що важкість хвостів переноситься в потік угод, а виконання ордера в невідомий момент знову дає суміш із товстими хвостами. Ризик позиції, яку тримають годинами, міряють у годинах.

Пачки угод важливіші за середній темп. Якщо угоди йдуть пачками, бар фіксованої тривалості містить непорівнянну кількість інформації, і саме пачки визначають хвіст.

Частину автокореляції на коротких інтервалах може створювати посередник. Згладжування стрибків серіями дрібних рухів одного знака дає схожу на тренд структуру, яка не пов'язана з поведінкою учасників. Це гіпотеза для перевірки, а не висновок роботи про сучасні ринки.

Ризик, порахований через дисперсію, на даних із показником, меншим за 2, нестабільний. Якщо денні зміни ближчі до стійкого паретівського розподілу, вибіркова волатильність не збігається, і на ній не варто будувати жорсткі пороги (наше пояснення до поняття «нескінченна дисперсія»).

11. Тестовані ідеї