О распределении изменений цен акций

Как читать этот разбор. Работа короткая, но плотная. Главную мысль можно забрать из раздела «Метод в одну строку» и примера в разделе 1, не читая формул. Разделы 5–8 это обсуждение Мандельброта, где он сам ограничивает конструкцию Тейлора; именно они чаще всего теряются при пересказе. PDF работы это скан без текстового слоя, поэтому дословных цитат здесь немного, и все они взяты только там, где текст на скане читается надёжно.

1. О чём спор

Мандельброт начинает с того, что школ мысли о распределении изменений цен по меньшей мере четыре. Самая многочисленная, технические аналитики, говорит о трендах, уровнях поддержки и отскоках. Две другие отвергают технический взгляд и согласны, что цены это случайное блуждание, но расходятся в том, какое распределение у шагов и каким временем их мерить: физическим (дни, часы) или операционным, которое идёт вместе с потоком сделок. Одни находят изменения цен нормальными, другие видят устойчивый закон Парето с бесконечной дисперсией. Четвёртая группа принимает случайное блуждание как первое приближение и отмечает эффекты второго порядка.

Работа отвечает на спор двух школ случайного блуждания. Ответ в аннотации: "Price changes over a fixed number of transactions may have a Gaussian distribution." Изменения за фиксированный срок при этом могут следовать устойчивому закону Парето, и поскольку число сделок за любой срок случайно, утверждения не обязательно противоречат друг другу. В тексте это сформулировано так: "Basically, our point is this: the Gaussian random walk as applied to transactions is compatible with a symmetric stable Paretian random walk as applied to fixed time intervals."

Идея на пальцах. Пусть цена меняется только в момент сделки, и каждая сделка сдвигает её на небольшую случайную величину, независимо от прошлого. По сделкам это обычное гауссово блуждание. По часам картина другая: в один час прошло 10 сделок, в другой 10 000. Изменение цены за час это сумма случайного числа случайных шагов. Если число шагов само имеет очень тяжёлый хвост, часовые изменения его наследуют.

Пример на числах (наш пример). Каждая сделка двигает цену на $\pm 1$ цент с равной вероятностью. Час со 100 сделками даёт типичное движение $\sqrt{100} = 10$ центов, час с 10 000 сделок даёт 100 центов. При постоянном числе сделок часовые изменения были бы нормальными. Случайное число сделок с тяжёлым хвостом делает их распределение тяжелохвостым.

Работа состоит из двух частей разных авторов. Математическое наблюдение принадлежит Тейлору (сноска к разделу «A relation between the Gaussian and other stable laws»), обсуждение и связь со специалистами принадлежит Мандельброту.

2. Метод в одну строку

Цена в часах это гауссова цена в сделках, в которую подставлено случайное число сделок к данному часу.

Что это такое. Три процесса, вложенные один в другой.

Что означает каждый значок.

• $X(v)$: цена как функция не календарного времени, а накопленного числа (или объёма) сделок $v$. Гауссов процесс с независимыми приращениями, средним ноль и $E[X(u)X(v)] = \sigma^2\min\{u, v\}$, то есть обычное броуновское блуждание.
• $T(t)$: сколько сделок или какой объём накопился к календарному моменту $t$. Тоже случайный процесс, но только растущий.
• $Z(t)$: то, что мы видим, цена как функция календарного времени.

Как читать. Взять календарный момент $t$, посмотреть, сколько к нему накопилось сделок, и подставить это число в гауссов процесс.

Термины. $Z$ называется подчинённым (subordinated) процессу $X$, а $T$ направляющим процессом (directing process). Сам приём Мандельброт приписывает Бохнеру, который ввёл понятие подчинения.

Зачем это нужно. Это разделение «как цена реагирует на сделку» и «как быстро идут сделки». Тяжёлые хвосты в такой модели живут во втором.

3. Устойчивые законы и показатель α

Раздел «Review of stable laws» напоминает, что такое устойчивое распределение. Процесс с независимыми стационарными приращениями следует устойчивому закону тогда и только тогда, когда его характеристическая функция имеет определённый вид с четырьмя параметрами: $\alpha$ (характеристический показатель, от 0 до 2), $\beta$ (асимметрия, от −1 до 1), $\gamma > 0$ (масштаб) и $\delta$ (сдвиг).

Что такое характеристический показатель α. Число от 0 до 2, которое задаёт толщину хвостов. Со ссылкой на Гнеденко и Колмогорова авторы перечисляют:

• $\alpha = 2$: нормальное распределение, $Z(t)$ это броуновское движение;
• $\alpha = 1$ и $\beta = 0$: распределение Коши;
• $1 < \alpha < 2$: среднее конечно, дисперсия бесконечна; это и есть «устойчивый закон Парето» из спора.

Ещё два факта из того же раздела: устойчивое распределение положительно тогда и только тогда, когда $\alpha < 1$, $\beta = 1$ и $\delta \ge 0$, и симметрично при $\beta = 0$.

Что значит «дисперсии нет». Не «дисперсия большая», а выборочная дисперсия с ростом выборки ни к чему не сходится и продолжает расти. Для практика это значит, что оценка волатильности по таким данным неустойчива, и всё, что на ней построено, тоже (наше пояснение, в работе этого вывода нет).

Характеристическая функция гауссова процесса $X$:

Что это такое. Характеристическая функция, то есть среднее от $e^{i\xi X}$. Она однозначно задаёт распределение, и с ней удобно работать, потому что для суммы независимых величин функции перемножаются.

Что означает каждый значок. $\xi$ («кси»): аргумент функции. $\sigma^2$: дисперсия шага за единицу операционного времени. $t$: сколько операционного времени прошло.

Счёт по шагам. Квадрат аргумента умножить на дисперсию и на время, взять половину со знаком минус, возвести $e$ в эту степень.

Зачем это нужно. Нормальное распределение узнаётся по квадрату аргумента в показателе. Устойчивое с показателем $\alpha$ узнаётся по $\lvert\xi\rvert^{\alpha}$.

4. Вывод Тейлора

Направляющий процесс $T(t)$ Тейлор берёт положительным устойчивым процессом с показателем $0 < \alpha < 1$, $\beta = 1$ и $\delta = 0$ (уравнение 3 работы). Дальше характеристическая функция $Z$ считается в два шага: сначала при известном $T(t)$, затем усредняется по $T(t)$.

Что это такое. При известном числе сделок $T$ цена гауссова с дисперсией $\sigma^2 T$. Остаётся усреднить гауссову характеристическую функцию по случайному $T$.

Счёт по шагам. Подставить $\frac12\xi^2\sigma^2$ как аргумент в характеристическую функцию $T$. Степень $\alpha$ от $\xi^2$ даёт $\lvert\xi\rvert^{2\alpha}$.

Пример (наш). Если $\alpha = 0.85$, показатель цены по часам равен $2 \times 0.85 = 1.7$: это устойчивый закон Парето со средним, но без дисперсии. Если $\alpha = 0.5$, показатель равен 1, это распределение Коши, у которого нет даже среднего.

Зачем это нужно. Это и есть доказательство примирения. Гауссово блуждание по сделкам плюс скачкообразное число сделок дают симметричный устойчивый закон с показателем $2\alpha < 2$ по часам.

Итог Тейлора: $Z(t)$ это симметричный устойчивый процесс с показателем $2\alpha < 2$, у которого параметры асимметрии и сдвига равны нулю. Сноска честно оговаривает, что шаг формальный: в формулу характеристической функции, выведенную для действительного аргумента, подставлен комплексный. Авторы пишут, что этот шаг легко обосновать, и отсылают к Феллеру.

Интерпретация из того же раздела: $X(v)$ это цена в шкале объёма сделок, $T(t)$ накопленный объём или число сделок к физическому моменту $t$, а $Z(t)$ цена в физическом времени.

5. Обсуждение Мандельброта: бесконечные моменты никуда не делись

Вторая половина работы это обсуждение Мандельброта. Он напоминает свою работу 1963 года: изменения цен за фиксированные сроки примерно независимы и примерно устойчиво-паретовские, то есть с бесконечной дисперсией. Замечание Тейлора он принимает, но сразу уточняет, чем оно не является.

Направляющий процесс у Тейлора сам негауссов и устойчив, с бесконечным средним, а значит и с бесконечной дисперсией. Поэтому, пишет Мандельброт, замечание Тейлора "does not belong to the category of attempts to avoid stable Paretian distributions": это не попытка спасти конечную дисперсию, а другой способ ввести гипотезу бесконечных моментов в изучение цен. Тяжёлые хвосты в модели остаются, только сидят они в процессе числа сделок.

Почему это важно. Пересказы работы часто сводят её к формуле «тяжёлые хвосты это артефакт часов, перейдите на время по сделкам, и они исчезнут». Мандельброт в той же статье говорит другое: хвосты не артефакт, они перенесены в поток сделок, и бесконечное среднее у этого потока не менее неудобно, чем бесконечная дисперсия у цены.

Сноска к тому же разделу упоминает двух других авторов. Грейнджер заметил, что $X(T)$ может быть гауссовым при очень тяжелохвостом $Z(t)$, но не отметил, что для этого $T(t)$ должен быть приблизительно подчинителем. Брада и соавторы подробно показали, что изменения цен между сделками короткохвосты и приблизительно гауссовы, и Мандельброт добавляет, что это свойство обеспечено инструкциями SEC для специалистов (раздел 7).

6. Реальные и «виртуальные» сделки

Подчинитель почти наверное разрывен и растёт положительными скачками. Размер скачка $U$ имеет степенной (паретовский) условный хвост. Мандельброт читает это так: если $U > 1$, сделки идут пачками. Последнюю сделку в пачке он называет «финальной», остальные «виртуальными».

Отсюда неудобное следствие. Если объёмы на «виртуальных» сделках пренебрежимо малы, изменение цены между двумя финальными сделками это сумма $U$ независимых гауссовых величин с единичной дисперсией. Дисперсия такой суммы равна среднему $U$, а оно бесконечно. Распределение изменений между финальными сделками совпадает с распределением скачков исходного процесса с бесконечной дисперсией. Вывод Мандельброта: представление Бохнера "brings nothing new, unless nonnegligible amounts are traded on the so-called" «виртуальных» сделках.

Как это понимать. В наблюдаемых сделках модель Тейлора гауссовой цены не обещает. Если пачка сделок видна как одна сделка, то и тяжёлый хвост виден в изменениях между наблюдаемыми сделками. Гауссовость по сделкам появляется только тогда, когда внутри пачки реально что-то торгуется.

Ещё одна оговорка из сноски: строго говоря, $T(t)$ целое число и поэтому не может быть подчинителем в точности. В первом приближении скачки $T$ считаются квантованными, но не сглаженными, а $X(T)$ процессом в дискретном времени с нулевым средним и единичной дисперсией шага. Вывод Тейлора, по словам Мандельброта, от такого квантования практически не меняется.

7. Роль специалиста

В работе 1963 года Мандельброт писал, что разрывы процесса цены в данных по сделкам почти не видны. Они либо прячутся там, где рынок закрыт или торги прерваны, либо сглаживаются специалистами, которые по инструкции SEC "ensure the continuity of the market", участвуя в сделках сами.

Здесь он уточняет, как специалист меняет данные. Во-первых, он сглаживает мелкие бесцельные дрейфы, и изменение цены между сделками равно нулю чаще, чем было бы без него. Во-вторых, он заменяет большинство крупных изменений сериями мелких и средних, амплитуды которых настолько взаимозависимы, что почти все одного знака. На некоторых рынках это дополнительно обеспечивают законные дневные лимиты на изменение цены.

Сноска разбирает механизм на примере. После сделки по цене $Z_i$ приходит важная новость, и предложение ниже уровня $Z^0$ исчезает. Специалист продаёт из своих запасов и участвует в следующих сделках, и эта пауза на раздумье, как пишет Мандельброт, убирает из распределения $Z_{i+1} - Z_i$ почти все большие значения. Остаются только большие изменения через последнюю сделку сессии или через перерыв в торгах, и их вклад тонет в огромном числе сделок внутри сессии.

Мандельброт предлагает и гипотезу: соблазнительно отождествить «виртуальные» сделки Бохнера со сделками специалистов, хотя специалисты, вероятно, видят, куда идёт цена, и проходят нужный путь меньше чем за $U$ независимых гауссовых шагов. Итог раздела: "the Bochner representation is concretely plausible and a program for empirical study of specialists."

Что из этого видно сегодня (наше прочтение). Механизм посредника, который размазывает скачок во времени, даёт серии однонаправленных мелких движений. Часть наблюдаемой автокорреляции на коротких интервалах может быть порождена устройством рынка, а не поведением участников. В работе это сказано про специалистов NYSE 1960-х; переносить на современные рынки нужно с проверкой.

8. Почему данные по сделкам мало помогают на практике

Последний раздел работы прямо ограничивает её практическую пользу. Мандельброт соглашается, что короткий хвост (и даже гауссовость) изменений между последовательными котировками полностью совместим с паретовским поведением изменений за фиксированный срок. Но, пишет он, трудно понять, чем это распределение полезно отдельному инвестору. У инвестора нет часов по сделкам. Он не знает, будет его сделка следующей на рынке или пятидесятой. Его ордер, поданный при цене $Z_i$, исполнится по цене $Z^0$, и $Z^0 - Z_i$ это сложная смесь величин вида $Z_{i+j} - Z_i$ по всем $j$. А "Mixtures of Gaussian distributions are known to have fatter tails than the Gaussian, and these tails can be very fat indeed."

Экономистам данные по сделкам тоже неудобны: если цена одна из переменных модели временных рядов, нет смысла мерить её на интервалах между сделками, когда остальные переменные мерятся на фиксированных интервалах.

Мандельброт оговаривает и обратное: описание цены в обычном, равномерно текущем времени задачу тоже не решает, потому что момент исполнения своей сделки заранее не известен, и смесь появляется снова. В модели Башелье, где изменения за фиксированный срок гауссовы, возникают те же трудности со смесью. У устойчивого закона Парето есть полезное свойство: асимптотика распределения одна и та же для смеси сроков и для каждого срока отдельно. "Thus, mixing has no effect upon considerations related to that asymptotic behavior."

9. Что в работе шатко

Оговорки самих авторов

Нет экспериментальной проверки. Мандельброт называет альтернативу Тейлора "illuminating though restricted to the symmetric case and as yet devoid of direct experimental backing".

Только симметричный случай. Конструкция даёт симметричный устойчивый закон; асимметрию изменений цен она не объясняет.

Формальный шаг вывода. Подстановка комплексного аргумента в формулу для действительного обоснована ссылкой на Феллера, но в тексте не проведена.

Целочисленность числа сделок. $T(t)$ не может быть подчинителем в точности, конструкция верна в первом приближении.

«Виртуальные» сделки. Если на них не торгуется заметный объём, конструкция ничего нового не даёт.

Практическая польза ограничена, раздел 8: у инвестора нет часов по сделкам, и смесь возвращает толстые хвосты.

Что заметно при чтении

Числа и формулы не пересчитывались, расхождений с текстом мы не искали.

Форма процесса числа сделок постулирована. Показатель $\alpha$ от 0 до 1 у направляющего процесса это допущение, которое в работе ничем не подкреплено и не измерено.

Рынок 1967 года. Специалисты, дневные лимиты, отсутствие электронной торговли. Механизм сглаживания сегодня устроен иначе, и переносить выводы раздела 7 без проверки нельзя.

Скан без текстового слоя. Дословные цитаты в этом разборе взяты только там, где текст на скане читается надёжно; формулы разобраны по отрисованным страницам.

10. Что из этого следует на практике

Бары по сделкам или объёму это проверяемая гипотеза, а не вкус. Если тяжёлые хвосты часовых доходностей порождены неравномерностью потока сделок, нарезка по числу сделок должна их заметно уменьшить. Это дешёвая проверка на своих данных.

Укороченный хвост на барах по сделкам не означает, что риск исчез. Мандельброт прямо говорит, что тяжесть хвостов переносится в поток сделок, а исполнение ордера в неизвестный момент снова даёт смесь с толстыми хвостами. Риск позиции, которую держат часами, мерится в часах.

Пачки сделок важнее среднего темпа. Если сделки идут пачками, бар фиксированной длительности содержит несопоставимое количество информации, и именно пачки определяют хвост.

Часть автокорреляции на коротких интервалах может создавать посредник. Сглаживание скачков сериями мелких движений одного знака даёт похожую на тренд структуру, которая не связана с поведением участников. Это гипотеза для проверки, а не вывод работы о современных рынках.

Риск, посчитанный через дисперсию, на данных с показателем меньше 2 нестабилен. Если дневные изменения ближе к устойчивому закону Парето, выборочная волатильность не сходится, и на ней не стоит строить жёсткие пороги (наше пояснение к понятию «бесконечная дисперсия»).

11. Тестируемые идеи