101 формульная альфа

Как читать этот разбор. Работа состоит из двух частей разного веса. Главное в ней это сами формулы: приложение A, где 101 альфа записана на маленьком языке операторов. Раздел 2 разбирает этот язык, раздел 3 показывает несколько альф по шагам, раздел 4 сводит весь каталог в таблицу групп. Вторая часть работы, эмпирика на закрытых данных, разобрана в разделе 5; её числа проверить нельзя. Все 101 формулу по отдельности мы не разбираем: они лежат в открытом доступе по ссылке.

Главный тезис

Автор публикует 101 торговую альфу для американских акций в виде явных формул. В аннотации: "We present explicit formulas – that are also computer code – for 101 real-life quantitative trading alphas." Формулы короткие и записаны на языке из двух десятков операторов, поэтому, как только операторы определены, каждая формула исполняется как код.

Альфы принадлежат WorldQuant LLC и опубликованы с её разрешения. В заключении автор подчёркивает, что это не учебные примеры: "In fact, 80 of these alphas are in production as of this writing." Какие именно 80, не сказано: "For proprietary reasons, we are not at liberty to state precisely which ones."

К формулам приложены три эмпирических результата по самим альфам за 2010–2013 годы:

1. средний срок удержания примерно от 0.6 до 6.4 дня, то есть высоко- и среднечастотный горизонт;
2. средняя попарная корреляция альф низкая: 15.9 %, медиана 14.3 %;
3. доходность альфы растёт с её волатильностью, но значимо не зависит от оборота; и оборот плохо объясняет корреляции между альфами.

Выбраны эти 101 альфа не случайно: "We picked these alphas largely based on simplicity considerations", чтобы их можно было уместить в статью. Автор оговаривает, что существует множество других, «неформульных» альф, слишком сложных для публикации.

1. Что здесь называется альфой

Автор приводит определение из книги WorldQuant (Tulchinsky и др., 2015): альфа это сочетание математических выражений, кода и параметров настройки, которое вместе с историческими данными позволяет прогнозировать движение инструментов. И сразу уточняет: здесь слово употребляется в трейдерском смысле, как любой разумный прогноз ожидаемой доходности, на котором можно торговать, и это не обязательно то же, что «академическая» альфа, остаток регрессии на факторы риска.

Зачем столько альф. Во введении автор описывает две встречные тенденции. Всё больше участников ищут альфы количественными методами, и сами альфы от этого становятся слабее и короче: "This results in ever fainter and more ephemeral alphas." С другой стороны, поиск альф удаётся в основном автоматизировать, и их число идёт на сотни тысяч и миллионы. Торгуют при этом не отдельными альфами, а «мега-альфой», собранной из многих. Бонусы такой схемы, по словам автора: внутренний взаимозачёт сделок (покупка по одной альфе гасит продажу по другой, и это существенно экономит на издержках) и диверсификация на случай, если часть альф перестанет работать. Трудность объединения тоже названа: переменных слишком много, наблюдений мало, "Thus, the alpha sample covariance matrix is badly singular."

Возврат к среднему и моментум. Очень грубо, пишет автор, альфы делятся на эти два типа. Простейшая альфа возврата к среднему, формула (2) работы:

Что это такое. Ставка на то, что ночной гэп частично закроется.

Что означает каждый значок. $\ln$ («натуральный логарифм»): для небольших изменений превращает отношение цен в доходность, $\ln(1+x) \approx x$. Минус впереди переворачивает знак.

Счёт по шагам, наш пример. Вчера закрытие 100, сегодня открытие 102. Отношение 1.02, логарифм около 0.0198, с минусом $-0.0198$. Сигнал отрицательный: акцию продаём, рассчитывая, что часть гэпа вернётся. Автор называет это прямо: "The idea (or hope) here is that the stock will mean-revert".

Зачем это нужно. Пример вводит понятие delay-0: данные альфы относятся к тому же моменту, когда альфа торгуется. Эту альфу надо исполнять на открытии или как можно ближе к нему. Вчерашнее закрытие при этом скорректировано на сплиты и дивиденды, если экс-дата сегодня.

Простейшая моментум-альфа, формула (3):

Что это такое. Если вчера акция выросла внутри дня, сегодня её покупаем, рассчитывая на продолжение.

Зачем это нужно. Пример вводит delay-1: альфа торгуется на следующий день после даты самых свежих данных. Автор оговаривает, что та же формула, исполненная как можно ближе ко вчерашнему закрытию, была бы delay-0. Delay-2 определяется так же, с отставанием в два дня.

Из 101 альфы приложения четыре, по сноске автора, относятся к delay-0: номера 42, 48, 53 и 54. Их предполагается исполнять на закрытии того дня, по которому они посчитаны, или как можно ближе к нему.

2. Язык формул: операторы и данные

Приложение A.2 определяет операторы, из которых собраны все альфы. Все выражения нечувствительны к регистру: Ts_Rank и ts_rank это одно и то же.

Важное правило для всех операторов вида ts_…: "non-integer number of days d is converted to floor(d)", то есть дробное число дней округляется вниз. Это нужно знать, потому что во второй половине каталога окна заданы числами вроде 16.1219.

Входные данные (раздел A.3): returns (доходность от закрытия до закрытия), open, close, high, low, volume, vwap (средневзвешенная по объёму цена дня), cap (капитализация), adv{d} (средний дневной оборот в долларах за $d$ дней, например adv20) и IndClass, место для любой отраслевой классификации: GICS, BICS, NAICS, SIC. Автор оговаривает, что разные IndClass в одной альфе не обязаны относиться к одной классификации.

Почему rank стоит почти везде. Определение в работе одно слово: "cross-sectional rank". Смысл такой: важна не величина сигнала, а место акции среди остальных в тот же день. Это гасит выбросы (самая упавшая акция получает самый высокий ранг, упала она на 15 % или на 40 %), делает сигнал сопоставимым от дня к дню при любой общей волатильности и автоматически делает стратегию поперечной: сравниваются акции между собой, а не каждая со своим прошлым. Как именно нормирован ранг, в работе не сказано; по формулам вроде rank(...) - 0.5 и 0.5 < rank(...) видно, что подразумевается доля от 0 до 1. Это наше прочтение.

3. Несколько альф по шагам

Ниже шесть альф, выбранных так, чтобы показать основные приёмы языка. Пояснения автора есть только к альфам 42 и 101; остальные прочтения наши.

Alpha#101: доля дня, пройденная насквозь.

((close - open) / ((high - low) + .001))

Что это такое. Насколько движение от открытия до закрытия заняло весь дневной диапазон. Значение около $+1$, если день открылся на минимуме и закрылся на максимуме, около $-1$ в обратном случае.

Что означает каждый значок. close - open: изменение за день. high - low: дневной диапазон. .001: добавка, защищающая от деления на ноль, когда максимум равен минимуму.

Счёт по шагам, наш пример. Открытие 100, закрытие 102, максимум 103, минимум 99. Числитель 2, знаменатель $4 + 0.001$, сигнал около 0.5.

Зачем это нужно. Автор называет её delay-1 моментум-альфой: "if the stock runs up intraday (i.e., close > open and high > low), the next day one takes a long position in the stock".

Alpha#33: возврат внутридневного движения, через ранг.

rank((-1 * ((1 - (open / close))^1)))

Что это такое. Если закрытие выше открытия, open / close меньше единицы, выражение 1 - open/close положительно, а после умножения на $-1$ отрицательно. Акции, выросшие за день сильнее всех, получают самый низкий ранг, упавшие сильнее всех самый высокий.

Что означает каждый значок. ^1: возведение в первую степень, ничего не меняет. rank(...): место акции среди всех в этот день.

Счёт по шагам, наш пример. Пять акций с изменением за день +3 %, +1 %, 0 %, −2 %, −5 %. Значения внутри ранга примерно −0.03, −0.01, 0, +0.02, +0.05. Если ранг нормирован от 0 до 1, получится 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1: больше всего покупаем упавшую на 5 %, больше всего продаём выросшую на 3 %.

Зачем это нужно. Это возврат к среднему на горизонте одного дня. В список delay-0 она не входит, значит торгуется на следующий день после расчёта.

Alpha#42: где закрылась цена относительно vwap.

(rank((vwap - close)) / rank((vwap + close)))

Что это такое. По словам автора, по сути delay-0 альфа возврата к среднему. Если закрытие выше vwap, акция росла во второй половине дня, числитель мал, ранг низкий. Знаменатель, как пишет автор, "weights down richer stocks", то есть уменьшает вес дорогих акций.

Зачем это нужно. Позиция «против движения» открывается близко к закрытию того же дня. Это одна из четырёх альф, для которых исполнение в момент расчёта обязательно.

Alpha#12: изменение цены, знак которого задаёт объём.

(sign(delta(volume, 1)) * (-1 * delta(close, 1)))

Что это такое, наше прочтение. delta(close, 1): изменение цены закрытия за день. sign(delta(volume, 1)): $+1$, если объём вырос по сравнению со вчера, $-1$, если упал. Когда объём растёт, альфа ставит против вчерашнего движения цены; когда падает, по движению.

Зачем это нужно. Пример того, как одно поле (объём) переключает направление ставки по другому (цене).

Alpha#6: скользящая корреляция цены и объёма.

(-1 * correlation(open, volume, 10))

Что это такое, наше прочтение. Корреляция цены открытия и объёма за последние 10 дней, с обратным знаком. Акция, у которой рост цены шёл на растущем объёме, получает отрицательный сигнал.

Зачем это нужно. Скользящие корреляции между ценой и объёмом есть в 60 альфах из 101 (наш подсчёт), это самая частая операция после ранга.

Alpha#9: серия против одиночного движения.

((0 < ts_min(delta(close, 1), 5)) ? delta(close, 1) : ((ts_max(delta(close, 1), 5) < 0) ? delta(close, 1) : (-1 * delta(close, 1))))

Что это такое, наше прочтение. Если все дневные изменения цены за последние 5 дней положительны (их минимум больше нуля), альфа идёт по сегодняшнему изменению. Если все отрицательны (максимум меньше нуля), тоже по нему. Во всех остальных случаях против него.

Зачем это нужно. Внутри одной формулы смешаны моментум и возврат к среднему: после устойчивой серии альфа следует за рынком, после разнонаправленных дней ставит на откат. Автор пишет, что в сложных альфах эти элементы смешиваются и сами альфы становятся менее определёнными по типу.

Как выглядит вторая половина каталога. Начиная с номера 58, формулы устроены иначе:

Alpha#61: (rank((vwap - ts_min(vwap, 16.1219))) < rank(correlation(vwap, adv180, 17.9282)))

Окна вида 16.1219 и 17.9282 дня по правилу работы округляются вниз до 16 и 17. Встречаются и смеси одного поля с самим собой, например ((vwap * 0.728317) + (vwap * (1 - 0.728317))), что равно просто vwap. По виду это похоже на результат машинного подбора параметров, но в работе об этом ничего не сказано; это наше предположение.

4. Из чего состоит 101 альфа

Свод по приложению A. Подсчёт наш, по тексту формул; одна альфа может попадать в несколько строк.

Автор сам описывает каталог так: в основном это альфы «цена–объём», а «фундаментальные» данные используются в некоторых: в одной капитализация и в ряде альф отраслевая классификация для нейтрализации.

5. Эмпирические свойства альф

Как мерили

Данные закрытые, WorldQuant, период с 4 января 2010 по 31 декабря 2013 года. "The number of observations in the time series is 1,006". По каждой альфе:

Что это такое. Три метрики альфы номер $i$: годовой Шарп, дневной оборот и прибыль в центах на проторгованную акцию.

Что означает каждый значок.

• $P_i$: средний дневной P&L в долларах. $V_i$: дневная волатильность портфеля в долларах. $\sqrt{252}$ («корень из 252»): перевод дневного Шарпа в годовой, 252 торговых дня в году.
• $D_i$: средний дневной оборот в долларах. $I_i$: общая сумма вложений в альфу, длинные плюс короткие позиции, без плеча. $T_i$ = 0.5 значит, что за день переторговывается половина портфеля; $1/T_i$ это средний срок удержания в днях.
• $Q_i$: среднее число акций, проторгованных за день (покупки плюс продажи). Множитель 100 переводит доллары в центы.

Пример на числах работы. Наибольший оборот в таблице 1 равен 1.604 в день, наименьший срок удержания 0.6235 дня. Наименьший оборот 0.1571, наибольший срок 6.365 дня. Отсюда и диапазон «0.6–6.4 дня» в аннотации.

Зачем это нужно. Центы на акцию прямо сравнимы с издержками: если комиссия, половина спреда и влияние на цену в сумме больше $C_i$ центов на акцию, альфа после издержек убыточна. Это наш вывод из определения, в работе его нет.

Дальше из выборочной ковариационной матрицы доходностей альф берутся дневная волатильность $\sigma_i$ и корреляции $\Psi_{ij}$, средняя дневная доходность $R_i = P_i / I_i$ и годовая $\tilde R_i = 252\,R_i$. Матрица на этих данных невырожденная: 101 альфа на 1 006 наблюдениях.

Как её читать. Строки: годовой Шарп $S$, дневной оборот $T$, срок удержания $1/T$, центы на акцию $C$, дневная волатильность $\sigma$ (умноженная на 1 000), годовая доходность $\tilde R$ в процентах, попарные корреляции $\Psi$ в процентах. Столбцы: минимум, первый квартиль, медиана, среднее, третий квартиль, максимум.

Что нужно увидеть. Медианный Шарп 2.224 при минимуме 1.238: слабых альф в каталоге нет. Медианная годовая доходность 5.441 % при медианной дневной волатильности 1.395 тысячных, то есть около 0.14 % в день. Медиана центов на акцию 0.3969, то есть примерно 0.4 цента прибыли на каждую проторгованную акцию до издержек. Корреляции от −15.09 % до 87.33 % при среднем 15.86 %.

Оговорка под таблицей. "The performance figures are exclusive of any trading or transaction costs, price impact, etc."

Как его читать. Каждая панель показывает, как распределена одна метрика по 101 альфе (по попарным корреляциям для последней панели). Оборот, центы, волатильность и доходность даны в логарифмах.

Что нужно увидеть. Оборот распределён примерно логнормально, поэтому дальше в регрессиях используется его логарифм. Одиночные выбросы справа у Шарпа, волатильности и доходности, по подписи к рисунку, дают альфы delay-0. Корреляции сосредоточены около 0.1–0.2.

Доходность растёт с волатильностью

Автор подтверждает зависимость, найденную раньше на 4 000 альфах (Kakushadze и Tulchinsky, 2015), формула (1) работы:

Регрессия по 101 альфе со свободным членом (таблица 2):

Что это такое. Связь средней дневной доходности альфы с её дневной волатильностью, обе в логарифмах.

Что означает каждый значок. $\ln$: натуральный логарифм. Если обе стороны в логарифмах, наклон прямой становится показателем степени: $R \sim \sigma^{0.761}$. Значок $\sim$ читается «пропорционально».

Счёт по шагам, наш пример. У альфы вдвое большая волатильность. Тогда доходность выше в $2^{0.761} \approx 1.69$ раза, а не в 2, и Шарп составляет около $1.69/2 \approx 0.85$ от Шарпа спокойной альфы.

Пример на числах работы. Наклон 0.761 со стандартной ошибкой 0.046, t-статистика 16.65, $R^2$ = 0.737 (скорректированный 0.734).

Зачем это нужно. Показатель меньше единицы значит, что у более волатильных альф Шарп в среднем ниже: доходность растёт медленнее риска.

Как его читать. Каждая точка одна альфа: по горизонтали логарифм дневной волатильности, по вертикали логарифм средней дневной доходности. Прямая это регрессия из таблицы 2.

Что нужно увидеть. Основное облако лежит вдоль прямой; одна точка справа вверху сильно отстоит от остальных по волатильности. По подписи к рисунку 1, крайние значения волатильности и доходности дают альфы delay-0.

Оборот доходность не объясняет

Вторая регрессия добавляет логарифм оборота (таблица 3):

Что это такое. Та же связь, но с оборотом как второй объясняющей переменной.

Пример на числах работы. Коэффициент при обороте −0.023 со стандартной ошибкой 0.040, t-статистика −0.57: от нуля он не отличается. $R^2$ вырос с 0.737 до 0.738, скорректированный упал с 0.734 до 0.732.

Зачем это нужно. Это и есть заявление аннотации: доходности "have no significant dependence on turnover". Автор пишет, что это прямое подтверждение более раннего результата, полученного косвенно: там волатильность оценивалась через Шарп, центы на акцию и оборот, а здесь использована реализованная волатильность.

Оборот почти не объясняет корреляции

Автор проводит параллель: оборот альфы похож на ликвидность акции, а логарифм ликвидности в многофакторных моделях риска служит фактором стиля. Вопрос: объясняет ли логарифм оборота попарные корреляции альф? Факторная модель ковариации, формула (7):

Что это такое. Стандартная запись факторной модели: ковариация двух альф складывается из собственного риска и общих факторов.

Что означает каждый значок.

• $\Gamma_{ij}$ («гамма»): моделируемая ковариация альф $i$ и $j$.
• $\xi_i^2$ («кси в квадрате»): специфический, собственный риск альфы $i$. $\delta_{ij}$ («дельта Кронекера»): единица при $i = j$, иначе ноль; специфический риск стоит только на диагонали.
• $\Omega_{iA}$ («омега»): нагрузка альфы $i$ на фактор $A$. $\varphi_{AB}$ («фи»): ковариация факторов. $K$: число факторов, намного меньше числа альф $N$.

Зачем это нужно. Одним из столбцов нагрузок автор берёт логарифм оборота и проверяет, объясняет ли он корреляции.

Технически это регрессия всех $N(N-1)/2$ попарных корреляций (при 101 альфе это 5 050 пар, наш расчёт) на две величины, построенные из нормированных логарифмов оборота: сумму $y_{ij} = \ln\tau_i + \ln\tau_j$ и произведение $z_{ij} = \ln\tau_i \cdot \ln\tau_j$ (таблица 4):

Что это такое. Попытка предсказать корреляцию пары альф по их оборотам.

Что означает каждый значок. $\Psi_{ij}$ («пси»): корреляция альф $i$ и $j$. $\tau_i$ («тау»): оборот, нормированный так, чтобы среднее его логарифма по альфам было нулём.

Пример на числах работы. Коэффициенты формально значимы (t = 2.907 и 7.537), но $R^2$ = 0.0127. Свободный член 0.1587 просто воспроизводит среднюю корреляцию.

Зачем это нужно. Вывод автора: оборот сам по себе почти ничего не говорит о том, насколько две альфы похожи. И оговорка: это "does not necessarily mean the turnover adds no value in the factor model context". Оборот может помогать через специфический риск, но проверка этого требует закрытых методов и в работу не вошла.

Как его читать. Каждая точка одна пара альф. По горизонтали предсказание по обороту из таблицы 4, по вертикали отклонение настоящей корреляции от средней.

Что нужно увидеть. Облако без наклона: если бы оборот объяснял корреляции, оно вытянулось бы по диагонали.

Связь оборота и волатильности при этом есть, хотя и не сильная (таблица 5): $\ln\sigma \approx -6.174 + 0.368\,\ln T$, t-статистика наклона 5.412, $R^2$ = 0.228.

Как его читать. По горизонтали логарифм оборота, по вертикали логарифм волатильности.

Что нужно увидеть. Более быстрые альфы в среднем немного волатильнее, но разброс вокруг прямой большой. В сноске автор добавляет, что подавление весов альф по обороту может добавлять ценность, но сильно коррелирует с подавлением по волатильности.

6. Что в работе шатко

Оговорки самого автора

Без издержек. Под таблицей 1 прямо сказано, что показатели не учитывают торговые издержки, влияние на цену и прочее. При сроке удержания от 0.6 до 6.4 дня и медиане около 0.4 цента прибыли на акцию это решающая оговорка: Шарп 2.2 в таблице это Шарп до издержек.

Отбор по простоте, а не случайно. Альфы выбраны "largely based on simplicity considerations". Это не случайная выборка из продакшена, и неизвестно, какие 80 из 101 торговались.

Закрытые данные. И альфы, и данные принадлежат WorldQuant. Автор пишет, что даёт столько подробностей, сколько позволяет закрытость набора. Воспроизвести Шарпы, обороты и корреляции нельзя; можно только посчитать те же формулы на своих данных.

Оборот и модель риска. Отрицательный результат про корреляции не означает, что оборот бесполезен в факторной модели; вклад через специфический риск автор не проверял.

Что видно при чтении, но в работе не обсуждается

Расхождений, подтверждённых цитатой, в нашем рабочем разборе нет, поэтому discrepancies равно нулю. Числа мы не пересчитывали. Ниже то, что важно для тех, кто будет переписывать формулы в код; это наши наблюдения, а не найденные ошибки.

Двуаргументные min и max. В приложении min(x, d) и max(x, d) определены только как синонимы ts_min и ts_max, второй аргумент это число дней. Но в девяти альфах (71, 73, 76, 77, 82, 87, 88, 92, 96, наш подсчёт) вторым аргументом стоит целое выражение, а не число. Прочитать это можно двумя способами: как поэлементный максимум двух рядов или буквально как окно, равное значению выражения. В работе не сказано, какой имеется в виду.

signedpower. Определён как $x^a$. Название подсказывает «степень с сохранением знака», то есть $\operatorname{sign}(x)\cdot\lvert x\rvert^{a}$, но в определении этого нет. В альфе 84 показатель степени сам является рядом.

Ранг не определён подробно. Нормировка, обработка одинаковых значений и пропусков не описаны.

Период. Четыре года, 2010–2013. Из одного этого отрезка нельзя судить, насколько характеристики альф устойчивы во времени.

Как объединять, не сказано. По логике самой работы ценность создаёт «мега-альфа», но способа объединения в работе нет.

7. Что из этого следует на практике

Это готовая спецификация небольшого языка описания альф. Два десятка операторов и десяток входных полей покрывают весь каталог. Если вы строите движок, который считает сигналы по формулам, 101 альфа служит набором тестов: движок считает их все без ручных правок или нет.

Двусмысленные места решить заранее и записать. Двуаргументные min и max, signedpower, округление дробных окон, нормировка ранга. Разные прочтения дают разные альфы с одним и тем же номером.

Отдельная альфа из каталога не стратегия. Сроки удержания в днях, медиана прибыли около 0.4 цента на акцию до издержек. Автор сам описывает рабочую схему как объединение множества слабых сигналов с внутренним взаимозачётом сделок. Торговать одну формулу в одиночку с розничными издержками значит взять не ту часть системы.

Центы на акцию считать раньше Шарпа. Это прямое сравнение с ценой исполнения на акцию; Шарп до издержек такого сравнения не даёт.

Не выводить похожесть стратегий из их оборота. По этой работе оборот почти не объясняет корреляции; похожесть надо мерить по самим доходностям.

Метка задержки у каждой стратегии. Delay-0 и delay-1 это разные стратегии с разными требованиями к исполнению. Альфа delay-0, исполненная через час после расчёта, уже не та альфа.

8. Тестируемые идеи